众所周知, 泊松比被定义为侧向应变与轴向应变的比值的绝对值。在均匀变形阶段, 泊松比是一个本构参数, 不依赖于应力或应变状态。

对于非均质的岩土材料, 其内部存在多种缺陷(微裂纹、孔洞等)。随着载荷的增加, 岩样内部的缺陷渐渐形核、聚结、长大, 联结成较大的裂纹, 直到形成穿透岩样的宏观断裂。在这一过程中, 为反映岩样的侧向变形特征, 需要引入一个类似泊松比的力学量。

由于岩样开始发生破坏的时刻(或应力水平)难于识别, 因而, 一些研究人员仍将通过测量得到的侧向应变与轴向应变的比值的绝对值称之为泊松比, 纵然岩样已经发生了破坏。他们发现有的时候泊松比的确大于0.5^[1~5]。

文献[6]将单轴压缩条件下受到剪切破坏的岩样的应力峰值强度之后的侧向应变与轴向应变的比值的绝对值称之为峰后泊松比, 并得到了峰后泊松比的解析式。研究发现, 一般情况下, 峰后泊松比不是本构参数, 依赖于应力水平。通常, 峰后泊松比小于1.4。

由于在实验研究中, 不能保证多个岩样仅泊松比不同, 而其它弹性及塑性本构参数则完全相同。因而, 从实验角度无法研究泊松比对岩样破坏过程、模式及全部变形特征的影响。因此, 开展一定的理论研究和数值计算十分必要。文献[6~13]仅研究了单轴压缩条件下岩样受到剪切破坏时的全部变形特征、耗散能量及稳定性, 未涉及平面应变压缩条件下的全部变形特征的研究。

文献[14~16]采用拉格朗日元法(FLAC)内嵌语言FISH编写了计算平面应变压缩岩样全部变形特征的FISH函数, 研究了扩容角、软化模量及弹性模量对含单一材料缺陷岩样的破坏过程、模式、前兆及全部变形特征的影响。

本文利用上述FISH函数^[14~16], 计算了不同泊松比时岩样的全部变形特征, 研究了泊松比对平面应变压缩岩样破坏模式及全部变形特征的影响。

1.   本构关系及计算模型

计算模型的几何尺寸、单元划分及边界条件见图 1。岩样的高度及宽度分别为10 cm及5 cm, 下端面被固定铰支座约束, 在岩样的上端面施加常速度, v₀=4 ×10^-10 m时步, 计算在小变形模式及平面应变状态下进行。将岩样划分为若干正方形单元, 单元边长为0.00 125 m。为了得到不对称的剪切带图案, 在岩样的左下部预制了一个材料缺陷, 材料缺陷是四个空单元。另外, 岩样上端面的岩石质点仅允许向下运动, 其它方向的运动被限制, 这对应于上端面与试验机压头之间存在较大摩擦力的情形。

图  1  模型的几何特征及边界条件

Figure  1.  Model geometry and boundary conditions

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在弹性阶段, 岩石的本构关系为线弹性, 本构参数包括弹性模量及泊松比。峰值强度后岩石的本构模型取为莫尔库仑剪破坏与拉破坏复合的应变软化模型, 抗拉强度取为0.2 MPa。岩石内聚力、内摩擦角与塑性应变的关系见文献[14~15]。

数值计算采用5个计算方案, 在各个方案中, 弹性模量均设置为26.6 GPa。

2.   结果分析及讨论

2.1   泊松比对岩样破坏模式的影响

图 2 (a~p)给出了不同泊松比(ν)时, 岩样的破坏过程及模式。黑色单元表示这些单元已经发生了破坏; 白色单元表示这些单元尚处于弹性状态。各图片的时间步(t)也都已给出, 例如:图 2 (e)的t为10 000。由各图片的t, 易于计算出岩样此时的轴向(加载方向)应变(ε_a)。

图  2  不同泊松比时试样破坏过程及模式

(a~d)ν=0.07;(e~h)ν=0.21;(i~l)ν=0.31;(m~p)ν=0.41

Figure  2.  The failure processes and modes at different Poisson' s ratios

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见图 2 (a)、(e)、(i)及(m), 无论ν高或低, 塑性单元首先启动于材料缺陷附近。

当ν较低时, 见图 2 (a~h), 众多塑性单元按一定方向排列, 形成了一条狭长的剪切带; 随着时间步的增加, 剪切带的长度增加, 直到贯穿岩样的右侧面; 岩样仅发生了单一的剪切破坏。

当ν较高时, 见图 2 (i~p), 岩样发生破坏的单元数较多, 破坏模式比较复杂。

经过测量, 图 2 (d)、(h)、(l)及(p)的剪切带倾角(剪切带的切向与水平方向所夹的锐角θ)分别为64°、62°、60°及57°。由此可见, 随着ν的增加, θ降低。关于θ的理论解主要有Coulomb、Roscoe及Arthur倾角^{[17, 18]}。上述理论解表明, θ仅受摩擦角和扩容角影响。上述理论解无法考虑ν对θ的影响。当扩容角ψ=0时, 根据Coulomb、Roscoe及Arthur倾角公式可以计算出θ分别为67°、45°及56°。本文的数值解与Arthur倾角最接近。

2.2   泊松比对应力-轴向应变曲线的影响

图 3~7分别给出了ν对应力-轴向应变曲线、应力-侧向应变曲线、侧向应变-轴向应变曲线、通过轴向应变及侧向应变计算得到的泊松比-轴向应变曲线及体积应变-轴向应变曲线的影响。图 3~7中的各黑点的位置表示此时应力的峰值强度刚好被分别达到。

图  3  不同泊松比时应力-轴向应变曲线

Figure  3.  The stress-axial strains curves at different Poisson' s ratios

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见图 3, 随着ν的增加, 应力的峰值强度增加, 峰前的应力-轴向应变曲线变得陡峭。在平面应变线弹性状态下, 轴向压缩应变ε_a=σ(1 -ν²)/E, E是弹性模量, σ是轴向压缩应力。σ与ε_a的比值为E (1-ν²)。因而, 随着ν的增加, 在平面应变线弹性阶段, 峰前的应力(σ) -轴向应变(ε_a)关系变得陡峭。这与本文的数值解吻合。

见图 3, 峰后的应力-轴向应变曲线的斜率几乎不受ν的影响。

2.3   泊松比对应力-侧向应变曲线的影响

见图 4, 随着ν的降低, 应力的峰值强度所对应的侧向应变的大小降低。

图  4  不同泊松比时应力-侧向应变曲线

Figure  4.  The stress-lateral strain curves at different Poisson' s ratios

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见图 4, 随着ν的增加, 应力-侧向应变曲线的峰前阶段有变平缓的趋势。在平面应变线弹性状态下, 侧向应变ε_l=-σ(ν+ν²) /E, 负号代表在压缩过程中侧向的膨胀。σ-ε_l关系的斜率的绝对值为E/ (ν+ν²)。因而, 在平面应变线弹性状态下, 随着ν的增加, σ- ε_l关系变得平缓。这与本文的数值解吻合。

见图 4, 随着ν的增加, 应力-侧向应变曲线软化段有变陡峭的趋势。

2.4   泊松比对侧向应变-轴向应变曲线的影响

见图 5, 随着ν的增加, 峰前的侧向应变-轴向应变曲线的线性阶段有变陡峭的趋势。在平面应变线弹性状态下, ε_l与ε_a的比值的绝对值为ν /(1 -ν)。随着ν的增加, 该绝对值增加, 因而, 上述数值模拟结果与平面应变状态下的线弹性解一致。

图  5  不同泊松比时侧向应变-轴向应变曲线

Figure  5.  The lateral strain-axial strain curves at different Poisson' s ratios

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见图 5, 随着ν的增加, 峰后的侧向应变-轴向应变曲线有变平缓的趋势。

2.5   泊松比对计算的泊松比-轴向应变曲线的影响

见图 6, 不同ν时计算得到的泊松比-轴向应变曲线均可以划分为三个阶段^{[14, 15]}:在第一个阶段, 泊松比不断增加; 在第二个阶段, 泊松比基本上保持不变; 在第三个阶段, 泊松比继续增加。第一阶段对应初始加载阶段; 第二阶段对应均匀变形阶段; 第三阶段大致对应峰后变形阶段。但是, 严格地讲, 第三阶段包括峰后变形阶段和峰前变形阶段的一小段。

图  6  不同泊松比时计算得到的泊松比-轴向应变曲线

Figure  6.  The calculated Poisson' s ratio-axial strain curves at different Poisson' s ratios

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见图 6, 在第一个阶段, ν较高时的ν -ε_a曲线较陡峭。在第一阶段, ν持续增加的原因第3期王学滨:泊松比对岩样破坏模式及全部变形特征的影响223详见文献[14]、[15]。

见图 6, 在第二个阶段, ν较高时计算得到的泊松比较高。在平面应变线弹性状态下, ε_l与ε_a的比值的绝对值ν /(1 -ν)为通过ε_l及ε_a计算得到的泊松比。随着ν的增加, ν /(1 -ν)增加。因而, 在均匀变形阶段, ν较高时计算得到的泊松比较高的结论是合理的。假定ν /(1 -ν) >0.5, 可以得到ν应大于三分之一。也就是说, 若ν>1/3, 则在第二阶段通过ε_l及ε_a计算得到的泊松比可以大于0.5。从图 6的数值计算结果中也可以发现这一点, 当ν=0.31 < 1/3时, 计算得到的泊松比小于0.5;而当ν=0.41 >1/3时, 计算得到的泊松比已大于0.5。

假定ν/ (1 -ν) >1, 可以得到ν>0.5, 这是不可能的。因而, 在均匀变形阶段, 通过ε_l及ε_a计算得到的泊松比不可能大于0.5。上述结论是在不含有孔隙水压力条件下得到的, 若有孔隙水压力作用, 在均匀变形阶段, 岩样的侧向膨胀效应将十分显著, 这样, 通过ε_l及ε_a计算得到的泊松比也可能大于0.5。

见图 6, 在应力的峰值强度之后, ν较高时的ν -ε_a曲线较平缓。最终, 通过ε_l及ε_a计算得到的泊松比的最大值都已经超过0.5。在单轴压缩条件下, 当剪切带切向与轴向压应力的夹角小于35°时, 岩样(高宽比为2:1)的峰后泊松比可以达到1.4^[6]。

2.6   泊松比对体积应变-轴向应变曲线的影响

见图 7, 随着ν的增加, 体积应变-轴向应变曲线的峰值及所对应的轴向应变均降低。这说明, ν较小时, 岩样可以达到的最小体积为最小。

图  7  不同泊松比时体积应变-轴向应变曲线

Figure  7.  The volumentric strain-axial strain curves at different Poisson' s ratios

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见图 7, 峰前的线性体积应变-轴向应变曲线的斜率随着ν的增加而降低。在平面应变线弹性状态下, 体积应变ε_v=ε_a +ε_l, 因此, 可以得到ε_v=σ(1 -ν-ν²) /E。ε_v-ε_a关系的斜率为1 -ν (1 -ν)。因而, 上述数值结果是合理的。

见图 7, 在应力的峰值强度之后, ν较高时的ε_v-ε_a曲线较平缓。

2.7   泊松比对破坏前兆的影响

由于图 3及图 4给出的应力-轴向应变曲线及应力-侧向应变曲线在峰前具有一定的波动性, 因此很难在峰前识别出岩样破坏的前兆。从图 5~7给出的3种曲线可以发现, 在峰前, 3种曲线均发生了一定程度的转折, 这些转折可视为岩样破坏的前兆。

随着ν的降低, 3种曲线在峰前发生的转折(偏离线性状态)程度越来越大, 因此, 岩样破坏的前兆随着ν的降低而增强。

3.   结论

高泊松比使岩样的破坏模式由单一剪切破坏向复杂破坏模式转变, 破坏区域的面积增加, 剪切带倾角降低, Coulomb、Roscoe及Arthur理论不能解释这一现象。

在峰前, 不同泊松比时计算得到的应力-轴向应变曲线、应力-侧向应变曲线、侧向应变-轴向应变曲线、体积应变-轴向应变曲线的线性阶段与平面应变压缩条件下的弹性解吻合。

理论结果表明, 如果采用的泊松比超过1/3, 通过轴向应变及侧向应变计算得到的平面应变压缩泊松比可以大于0.5, 这一点被数值模拟确认。

泊松比的增加使峰后的侧向应变-轴向应变曲线、体积应变-轴向应变曲线、计算得到的泊松比-轴向应变曲线变得不陡峭, 峰后的应力-侧向应变曲线变得陡峭。

泊松比的降低使侧向应变-轴向应变曲线、体积应变-轴向应变曲线、泊松比-轴向应变曲线在应力峰值强度之前发生的转折程度变大, 因而, 岩样破坏的前兆逐渐增强。