地质力学学报  2013, Vol. 19 Issue (4): 431-439
引用本文
王宗林, 梁天意, 梁冰. 路堑边坡传递系数法与改进[J]. 地质力学学报, 2013, 19(4): 431-439.
WANG Zong-lin, LIANG Tian-yi, LIANG Bing. TRANSFER COEFFICIENT METHOD AND ITS IMPROVEMENT FOR THE CUTTING SLOPE[J]. Journal of Geomechanics, 2013, 19(4): 431-439.
路堑边坡传递系数法与改进
王宗林 , 梁天意 , 梁冰     
辽宁工程技术大学矿业学院, 辽宁 阜新 123000
摘要:传统的边坡稳定性系数计算方法假定滑坡块条间相互作用力方向与上一块条底滑面的方向相同,但当滑面较陡与较缓或有地下水作用时,条间力方向不能保证一直与底移滑面方向相同,从而使计算有所偏差。为此提出了改进的传递系数法,推导出静水和动水作用情况下传递系数法的计算公式。最后通过新传递系数法对假定边坡稳定性系数进行计算,并与其他稳定性系数计算法计算出的系数进行对比,结果显示改进的传递系数法具有一定的精度及可靠性。
关键词传递系数法    静水作用    动水作用    
TRANSFER COEFFICIENT METHOD AND ITS IMPROVEMENT FOR THE CUTTING SLOPE
WANG Zong-lin , LIANG Tian-yi , LIANG Bing     
Institute of Mining Technology, China University of Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning, China
Abstract: The traditional calculation method of slope stability coefficient assumes that the direction of the interaction force between slide blocks is same with that of the sliding surface of last block. However, when the sliding surface is relatively steep or gradual, or when the ground water is involved, the same direction cannot be guaranteed, which leads to the calculation deviation. Thereupon an improved calculation method of the transfer coefficient is put forward in which the effect of still water and flowing water is taken into consideration. Finally it comes to a conclusion that the result from the calculation method of the transfer coefficient is accurate and reliable to a certain extent since the assumed slope stability coefficient obtained from this calculation method is more precise in contract with that from other calculation methods.
Key words: transfer coefficient method    the effect of still water    the effect of flowing water    
1 传递系数法

传递系数法的全名为不平衡推力传递系数法,在公路路堑边坡及其他类型边坡的稳定性分析上应用比较广泛,是基于有限平衡原理的稳定系数定量求解公式。

传递系数法是针对折线型移动破坏面条件提出的,假定块条间力方向与上一块条底滑面平行,根据力的平衡,逐条向下推算出上一块条对下一块条的推力,同时不断设定系数大小,使最后一条没有向下的推力,由此算出边坡的稳定性系数[1]。一般常用的传递系数法有强度储存法和超载法。

1.1 强度储存法

传递系数法假定:① 边坡稳定属平面应变问题,即可取其某一横剖面为代表进行分析计算;② 滑动面为折线形,即在横剖面上滑动面为直线;③ 整个滑动面上的稳定安全系数是一样的。

取坡体的其中一个块条作为研究对象(见图 1),根据竖向与横向力的平衡条件得[2]

图 1 传递系数法求解示意 Figure 1 Transfer coefficient method calculation diagram
${N_i}\cos {\alpha _i} + {T_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\sin {\alpha _i} - {P_{i - 1}}\sin {\alpha _{i - 1}} - {W_i} = 0$ (1)
${T_i}\cos {\alpha _i} - {N_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\cos {\alpha _i} - {P_{i - 1}}\cos {\alpha _{i - 1}} = 0$ (2)
${T_i} = \frac{{{c_i}{l_i} + {N_i}\tan \varphi }}{{{F_{\rm{s}}}}} = {c^′}_i{l_i} + {N_i}\tan {\varphi ^′}_i$ (3)

将公式(3)代入公式(1)、(2)中,利用三角函数,并消去TiNi得:

${P_i} = {W_i}\sin {\alpha _i} - \{ c_i^′{l_i} + {W_i}\cos {\alpha _i}\tan \varphi _i^′/{F_{\rm{s}}}\} + {P_{i - 1}}{\Psi _{i - 1}}$ (4)
${\Psi _{i - 1}} = \cos ({\alpha _{i - 1}} - {\alpha _i}) - \frac{{\tan \varphi _i^′}}{{{F_{\rm{s}}}}}\sin ({\alpha _{i - 1}} - {\alpha _i})$ (5)

式中:Wi——第i块坡条重度,kN/m3Pi——第i+1块坡条传上来的力,kN;Pi-1——第i-1块坡条传上来的力,kN;αi——第i块坡条移滑面与水平面的角度,(°);αi-1——第i-1块坡条移滑面与水平面的角度,(°);ci——第i块坡条的粘聚力,kPa;φi——第i块坡条的内摩擦角,(°);li——第i块坡条移滑面长度,m;ci——强度折减后第i块坡条的粘聚力,kPa;φi——强度折减后第i块坡条的内摩擦角,(°);Fs——坡体稳定性系数;φi-1——传递系数。

利用公式(5),首先假定一个稳定系数Fs,从边坡最上面的块条开始计算它的不平衡推力,之后依次向下进行计算,直到最后一块,如果最下面的边坡块条的推力求解后为0,则之前假定的Fs即为所求的稳定性系数。

1.2 超载法

如果依托不平衡下滑力的定义,即不平衡下滑力等于下滑力乘以Fs减去抗滑力,可得:

${P_i} = {F_{\rm{s}}}{W_i}\sin {\alpha _i} - c_i^′{l_i} - {W_i}\cos {\alpha _i}\tan \varphi _i^′ + {P_{i - 1}}{\Psi _{i - 1}}$ (6)
${\Psi _{i - 1}} = \cos ({\alpha _{i - 1}} - {\alpha _i}) - \tan \varphi _i^′\sin ({\alpha _{i - 1}} - {\alpha _i})$ (7)

求解Fs的条件是Pi=0,则可得出一个Fs的一次函数。整个块条计算推力的过程中,之间的力如果出现方向向上,即为拉力,而这是不符合条件的力,因此下一块条的上推力就取Pi=0。

1.3 超载法的累积式

通过对超载法的公式逐步递推,可以得到累积式:

${F_{\rm{s}}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{n = 1} {({A_i}\prod\limits_{j = 1}^{n = 1} {{\Psi _j}) + {A_n}} } }}{{\sum\limits_{i = 1}^{n = 1} {({B_i}\prod\limits_{j = 1}^{n = 1} {{\Psi _j}) + {B_n}} } }}$ (8)

其中,${A_i} = c_i^′{l_i} - {W_i}\cos {\alpha _i}\tan \varphi _i^′$, ${B_i} = {W_i}\sin {\alpha _i}$, $\prod\limits_{j = 1}^{n = 1} {{\Psi _j} = } {\Psi _i} \cdot {\Psi _{i + 1}} \cdot {\Psi _{i + 2}} \cdots {\Psi _{n - 1}}$

2 改进的传递系数法

传递系数法考虑了块条界面上剪应力的作用,计算简单且应用性较好。但是传递系数法中Pi的方向被假定为与上邻块条的底移滑面方向相同,当滑面较陡与较缓或考虑地下水作用时,条间力方向不能保证总是与底移滑面方向相同,导致计算有所偏差。

为此,本文对传统的传递系数法进行修改,不硬性规定块条之间相互作用力的方向,从强度储存法及超载法两个方面推导出新的传递系数法公式,同时将坡体受到水作用后的水压力[3]考虑进去,得出水作用下的传递系数法。

2.1 改进的传递系数法块条力学模型

传递系数法是在一定前提下将移滑面定为折线型的滑坡推算出的,改进的传递系数法仍延用该假定前提。首先将滑面分成n个块条,对其中第i个块条进行分析,将块条间的相互作用力的方向由以前的平行于底滑面改为与底滑面的角度为βi;同时由于原有传递系数法的块条力学模型中没有充分考虑外界力,因此本文在原有的块条力学模型上增设2个力,分别为坡条上的外界力Qi及水平地震力KsWi,并建立新的块条力学模型(见图 2)。新建的块条力学模型中Pi的方向与水平方向的角度为βi,那么Pi-1与水平方向的角度为βi-1

图 2 新传递系数法的计算示意图 Figure 2 New transfer coefficient method calculation diagram
2.2 改进的传递系数法求解公式推导

根据新建块条的力学模型,通过水平方向与竖直方向的力平衡可得到:

${N_i}\cos {\alpha _i} + {T_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\sin {\beta _i} - {P_{i - 1}}\sin {\beta _{i - 1}} - {W_i} - {Q_i}\cos {\delta _i} = 0$ (9)
${T_i}\cos {\alpha _i} - {N_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\cos {\beta _i} - {P_{i - 1}}\cos {\beta _{i - 1}} - {K_{\rm{s}}}{W_i} + {Q_i}\cos {\delta _i} = 0$ (10)

将公式(3)代入公式(9),(10)中,利用三角函数,并消去TiNi得:

$\begin{array}{l} {P_i} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}{P_{i - 1}} - \frac{{\cos \varphi _i^′}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}c_i^′{l_i} + \\ \frac{{sin({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_i} + {Q_i}\cos {\delta _i}) + \cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({K_{\rm{s}}}{W_i} + {Q_i}\cos {\delta _i})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}} \end{array}$ (11)

${\Psi _{i - 1}} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}$$\frac{1}{k} = \cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})$,则上面公式可以化简为:

$\begin{array}{l} {P_i} = {\Psi _{i - 1}}{P_{i - 1}} + k[\sin ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_i} + {Q_i}\cos {\delta _i}) + \\ \cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({K_{\rm{s}}}{W_i} - {Q_i}\sin {\delta _i})] - k\cos \varphi _i^′c_i^′{l_i} \end{array}$ (12)

式中:Qi——坡条上的外界力,kN;δi——坡条上的外界力与竖直方向的角度,(°);Ks——地震作用系数,KsWi——平行地震力,kN;βi——Pi与水平方向的夹角,(°);βi-1——Pi-1与水平方向的夹角,(°)。

对于βi的取值,一般认为:

① 如果块条i底滑面的角度αi≤45°,且相邻块条的角度没有太大变化,则块条间的作用力方向βi与折减后块条的内摩擦角φi及块条i底移滑面的角度的关系为${\beta _i}\frac{1}{2}({\alpha _i} + \varphi _i^′)$

② 如果块条i底滑面的角度αi>45°,或者相邻块条的角度有大的变化,则块条间的作用力方向βi与折减后块条的内摩擦角$\phi _i^′$及块条i底滑面的角度的关系为${\beta _i}\frac{1}{2}({\alpha _i} + \varphi _i^′)$

3 水力作用下的改进传递系数法

水对边坡的破坏性作用很大,水不仅能够通过增加坡体的重度,加大下滑力,而且水渗入岩石之后,无论是滞留在孔缝、断层之中,还是沿着孔隙继续扩大运动,都将让原有的孔隙水压力增大或者从无到有。这种孔隙水压力将对坡体产生力学、化学等多方面的作用。

静止的水对坡体周围的作用力称为静水压力,而流动的水对坡体中的骨架有渗流力,把这部分水对单位体积骨架的作用力称为动水压力,动水压力也称为体积力[4]

3.1 静水压力下的传递系数法

同样取假定滑面的任意一块条,对其进行分析。由于水的作用,块条被分为两部分,上面为正常的块条,下面为有水作用的块条(见图 3)。

图 3 静水压力作用 Figure 3 Hydrostatic pressure effect

利用前面推导出的公式,可以得出:

$\begin{array}{l} {T_i}\cos {\alpha _i} - ({N_i} + {U_i})\sin {\alpha _i} + {P_i}\cos {\beta _i} - {P_{i - 1}}\cos {\beta _{i - 1}} - {K_{\rm{s}}}({W_{1i}} + {W_{2i}}) + {Q_i}\sin {\delta _i}\\ - {P_{ai}} + {P_{bi}} = 0 \end{array}$ (13)
$\begin{array}{l} ({N_i} + {U_i})\cos {\alpha _i} + {T_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\sin {\beta _i} - {P_{i - 1}}\sin {\beta _{i - 1}} - {W_{1i}} - {W_{2i}}\\ - {Q_i}\cos {\delta _i} = 0 \end{array}$ (14)
${T_i} = \frac{{{c_i}{l_i} + ({N_i} + {U_i}){\rm{tan}}\varphi }}{{{F_s}}} = c_i^′{l_i} + ({N_i} + {U_i}){\rm{tan}}\varphi _i^′$ (15)

将公式(15)带入公式(13),(14)中,利用三角函数,并消去TiNi得:

$\begin{array}{l} {P_i} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}{P_{i - 1}} + \frac{{\sin ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_{1i}} + {W_{2i}} + {Q_i}\cos {\delta _i})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}} + \\ \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′)[{K_s}({W_{1i}} + {W_{2i}}) - {Q_i}\sin {\delta _i} + {P_{ai}} - {P_{bi}}]}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}} - \frac{{\cos \varphi _i^′}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}c_i^′{l_i} \end{array}$ (16)

${\Psi _{i - 1}} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}$$\frac{1}{k} = \cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})$,则上面公式可以化简为:

$\begin{array}{l} {P_i} = {\Psi _{i - 1}}{P_{i - 1}} + k\sin ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_{1i}} + {W_{2i}} + {Q_i}\cos {\delta _i}) + \\ k\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′)[{K_s}({W_{1i}} + {W_{2i}}) - {Q_i}\sin {\delta _i} + {P_{ai}} - {P_{bi}}] - k\cos \varphi _i^′ \cdot c_i^′{l_i} \end{array}$ (17)

式中:W1i——第i块坡条中水润线以上块条的重度,kN/m3W2i——第i块坡条中水润线以下块条的重度,kN/m3Pai——第i块坡条左边界静水压力,方向与块条面垂直,kN;Pbi——第i块坡条右边界静水压力,方向与块条面垂直,kN;Ui——第i块坡条底移动破坏面静水压力,kN。

静水压力的计算如图 4所示。根据流线与等势线垂直的流网性质来确定条块周边的静水压力。过D点和A点分别做EC的垂直线GDEA,再过G点和E点分别做垂线GHEF垂直于CDBA。这样得到AD点的水头高度分别为AFDH,所以:

图 4 静水压力计算示意 Figure 4 Hydrostatic pressure calculation diagram
$AF = {h_a}{\cos ^2}{\eta _i}$ (18)
$DH = {h_b}{\cos ^2}{\eta _i}$ (19)

则左边和右边静水压力的总力为:

${P_{ai}} = \frac{1}{2}{\gamma _w}{h_a}^2{\cos ^2}{\eta _i}$ (20)
${P_{bi}} = \frac{1}{2}{\gamma _w}{h_b}^2{\cos ^2}{\eta _i}$ (21)
${U_i} = \frac{1}{2}{\gamma _w}({h_a} + {h_b}){l_i}{\cos ^2}{\eta _i}$ (22)

式中:ηi——水润线与水平线之间的角度,(°);ha——第i块坡条左边侵润线到底滑面的距离,m;hb——第i块坡条右边侵润线到底滑面的距离,m;γw——水的容重,kN/m3

3.2 动水压力下的传递系数法

同样取假定滑面的任意一块条,对其进行分析。由于水的原因,块条被分为两部分,上面为正常的块条,下面为有水作用的块条(见图 5)。

图 5 动水压力作用 Figure 5 Hydrodynamic pressure effect

同理可得:

$\begin{array}{l} {T_i}\cos {\alpha _i} - {N_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\cos {\beta _i} - {P_{i - 1}}\cos {\beta _{i - 1}} - {K_{\rm{s}}}({W_{1i}} + {W_{2i}})\\ + {Q_i}\sin {\delta _i} - {D_i}\cos {\alpha _i} = 0 \end{array}$ (23)
$\begin{array}{l} {N_i}\cos {\alpha _i} - {T_i}\sin {\alpha _i} + {P_i}\sin {\beta _i} - {P_{i - 1}}\sin {\beta _{i - 1}} - {W_{1i}} - {W_{2i}} - {Q_i}\sin {\delta _i}\\ - {D_i}\sin {\alpha _i} = 0 \end{array}$ (24)

将公式(15)带入公式(23),(24)中,利用三角函数,并消去TiNi得:

$\begin{array}{l} {P_i} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}{P_{i - 1}} + \frac{{\sin ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_{1i}} + {W_{2i}} + {Q_i}\cos {\delta _i} + {D_i}\sin {\alpha _i})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}} + \\ \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′)[{K_s}({W_{1i}} + {W_{2i}}) - {Q_i}\sin {\delta _i} + {D_i}\cos {\alpha _i}]}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}} - \frac{{\cos \varphi _i^′}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}c_i^′{l_i} \end{array}$ (25)

${\Psi _{i - 1}} = \frac{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _{i - 1}})}}{{\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})}}$$\frac{1}{k} = \cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′ - {\beta _i})$,则上面公式可以化简为:

$\begin{array}{l} {P_i} = {\Psi _{i - 1}}{P_{i - 1}} + k\sin ({\alpha _i} - \varphi _i^′) \cdot ({W_{1i}} + {W_{2i}} + {Q_i}\cos {\delta _i} + {D_i}\sin {\alpha _i}) + \\ k\cos ({\alpha _i} - \varphi _i^′)[{K_s}({W_{1i}} + {W_{2i}}) - {Q_i}\sin {\delta _i} + + {D_i}\cos {\alpha _i}] - k\cos \varphi _i^′ \cdot c_i^′{l_i} \end{array}$ (26)

式中:Di——第i块坡条的动水压力,kN/m3

4 改进型传递系数法的可靠性

为了验证改进型传递系数法的实际可行性,本文利用改进的传递系数法对假定边坡进行了稳定性系数的计算。对假定边坡的滑面进行分条,总共为10个部分(见图 6),坡体的岩体力学参数见表 1

图 6 边坡滑动面划分示意图 Figure 6 The slope slip plane division schematic diagram

表 1 岩体物理力学参数 Table 1 Physical and mechanical parameters of rocks

目前的边坡稳定性系数计算主要采用的是传递系数法,bishop法、FLAC数值模拟等方法。其中传统的传递系数法计算的稳定系数偏高,偏高值随φ的增大而增加,一般情况下,偏高10%~15%以内。而简化的bishop法则考虑了条间推力,使受力更合理,计算结果更接近实际。本文对传统传递系数法进行改进,把水的作用考虑进去,在块体受力分析上更加全面[5~11]

本文运用传递系数法、改进的传递系数法、bishop法、FLAC数值模拟方法对此工程进行了稳定性系数的计算,计算结果见表 2。在计算的数值上,改进的传递系数法与其他计算方法的结果比较贴近,并且比传统的方法更精确。因此,改进后的传递系数法有着一定的精度及可靠性。

表 2 不同方法下的稳定系数值 Table 2 Stability coefficient values of different methods
5 结论

简述了传统传递系数法两种解法的基本原理及计算公式,同时也说明了传统传递系数法假定滑坡块条间相互作用力方向与上一块条底滑面方向相同的不足。针对此不足提出了改进的传递系数法,并推导出改进的传递系数法计算公式,同时考虑了在水作用情况下的传递系数法,并推导出静水和动水压力下传递系数法的计算公式,最后通过改进的传递系数法对假定边坡稳定性系数进行计算,与其他稳定性系数计算法的计算结果进行对比,可以得出改进的传递系数法有一定的精度及可靠性。改进的传递系数法具有在实际生产过程中应用的条件。

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